Se verifica la veracidad de cada proposición, obteniendo que: la división de monomios no cumple con la propiedad conmutativa, asociativa, clausutariva y si puede dar un entero, para que los monomios cumplan con la propiedad clausativa la potencia del dividendo debe ser mayor que la del divisior
Problema #1: Propiedad conmutativa:
Propiedad comutativa: es propiedad para algun conjunto de elementos bajo alguna operación y nos dice que el orden de los factores no altera el producto. Por ejemplo se cumple en los reales para la suma: a + b = b + a y para la multiplicación a*b = b*a
En los reales no cumple con la propiedad comutativa ni para la división ni para la resta, es poco probable que se cumple para la división de monomios. Sean monomios cxᵃ y dxᵇ donde a, b son naturales y c y d son reales
Pero veamos: cxᵃ/dxᵇ = (c/d) xᵃ⁻ᵇ, ahora
cxᵇ/dxᵃ = (d/c) xᵇ⁻ᵃ ≠ (c/d) xᵃ⁻ᵇ No se cumple Falso.
Problema #2: Propiedad asociativa:
Propiedad asociativa: es propiedad para algun conjunto de elementos bajo alguna operación y nos dice que podemos asociar los elementos como queramos. Por ejemplo se cumple en los reales para la suma: a + (b + c) = (a + b) + c y para la multiplicación a*(b*c) = (a*b)*c
En los reales la división no cumple con la propiedad asociativa para la división veamos en los monomios
xᵃ ÷ (xᵇ ÷ xⁿ) = xᵃ ÷ (xᵇ⁻ⁿ) = xᵃ⁻ᵇ⁺ⁿ
(xᵃ ÷ xᵇ) ÷ xⁿ = xᵃ⁻ᵇ ÷ (xⁿ) = xᵃ⁻ᵇ⁻ⁿ
Son distintos no cumple la propiedad asociativa Falso
Problema #3: División de monomios de un entero
Esta proposición es distinta a las anteriores: pues nos señalan que existe algun caso donde la división de un entero, lo que significa que no siempre se cumpla, si no que en algunos ocasiones se puede cumplor. Veamos entonces la divisón de dos monomios sean los mismos: cxᵃ y dxᵇ donde a, b son naturales y c y d son reales
cxᵃ ÷ dxᵇ = c/dxᵃ⁻ᵇ
Ahora si a = b la potencia de x sera cero y obtendremos un real si además c entre d es entero tenemos un entero
Por ejemplo:
4x³ ÷ 2x³ = (4/2)*(x³⁻³) = 2*x⁰ = 2 ∈ Z. Verdadero.
Problema #4: propiedad clausurativa:
Propiedad clausarativa: es una propiedad que cumplen los elementos de un conjunto digamos A, tal que si x1 y x2 ∈ A, entonces bajo aluna operación determinada la operación de x1 con x2 es igual a x3 entonces x3 ∈ A
En este caso tenemos que siempre ocurre algo: pero la verdad es que no siempre la división de monomios es monomios, pues si la división da un exponente negativo ya no seria monomio
cxᵃ ÷ dxᵇ = (c/d)*xᵃ⁻ᵇ
Si b es mayor que a: entonces el resultado sera negativo. Y no sera un monomio. Por ejemplo:
x² ÷ x³ = x⁻¹ = 1/x FALSO
Problema #5: Condiciones para la clausutatividad
En el problema anterior vimos que en general los monomios no cumplen con la propiedad clausurativa, pero bajo ciertas condiciones si podria cumplirlo. Veamos entonces
cxᵃ ÷ dxᵇ = (c/d)*xᵃ⁻ᵇ
Ahora si a es mayor que b: entonces a - b sera positivo, por lo que obtendriamos un monomio, de igual manera (con coeficiente c/d)
Pero en el enunciado nos dicen que la potencia del dividendo debe ser menor que la del divisor y es al reves la potencia del dividendo debe ser mayor que la del divisor. FALSO
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